fizik

Genelleştirilmiş Koordinatlar İçin Baz Vektörleri

           Serbest olarak hareket eden bir parçacığın yerini belirlemek için üç koordinat vermek gerekir. kartezyen sistemde bu koordinatlar x, y, z dir. ancak çoğu zaman parçacığın yerini kartezyen veya bir başka bilinen koordinatlarla belirlemek uygun olmayabilir. Böyle bir durumda problemin yapı ve şartlarına uygun “genelleştirilmiş koordinatlar” seçmek gerekir. genelleştirilmiş koordinatları q₁, q₂ ve q₃ olarak temsil edeceğiz. Örneğin silindirik koordinatlarda, kartezyen a₁=x   a₂=y   a₃=z

            q₁=g,   q₂=f,    q₃=z,

küresel koordinatlarda,

            q₁=r,   q₂=q,   q₃=f,

gibidir.

            Genelleştirilmiş koordinatlar için baz vektörlerini türetebilmek için işlemlerimizi kartezyen koordinat sisteminde yapacağız. Genel olarak q_i genelleştirilmiş koordinatların belirlenmesi, matematiksel  olarak parçacığın yer vektörünün kartezyen bileşenlerinin,

            x=x(q₁, q₂, q₃,)

            y=y(q₁, q₂, q₃,)                                                                                   (1)

            z=z(q₁, q₂, q₃,)

olarak q_i genelleştirilmiş koordinatlarının fonksiyonları olarak tespit edilmesi anlamına gelir. Bu durumda yer vektörü,

                                              (2)

olarak yazılır. Genelleştirilmiş koordinatlar için bu vektörleri aşağıdaki şekilde tanımlanırlar:

                                                                           (3)

                                                                        (4)

                                                              (5)

 baz vektörlerinin genelde birim vektör olmadıklarına dikkat ediniz. bunlar yerine,

                                                                         (6)

birim vektörleri kullanılmamamızın nedeni ilerideki konularda açık olarak görülecektir.

            Yukarıda tanımlanan baz vektörleri, kartezyen bileşenleri cinsinden,

                                                                                     (7)

gibi olurlar. Bu vektörlerin büyüklükleri,

                                                         (8)

olarak hesaplanabilir.

            baz vektörü, q_i genelleştirilmiş koordinatının sonsuz küçük değişimi ile yer vektöründe meydana gelen değişim doğrultusundadır. Bunu,

                                                                                        (9)

ifadesinden görebiliriz.

            (8) – (3) bağıntıları ile tanımlı  vektörleri genelde birbirlerine dik değildirler. Ancak bunların baz vektörleri olabilmesi için üç aynı düzlem içinde olmamalı, yani üçlü skaler çarpımlar sıfırdan farklı olmalıdır:

                                                                          (10)

            Bu determinanta x, y, z koordinatlarının q_i genelleştirilmiş koordinatlarına göre Jakobiyen adı verilir. Jakobiyen determinantı geleneksel olarak,

                                                                             (11)

şeklinde gösterilir. Böylece (10) bağıntısı,

şeklide yazılabilir. Bu şart aynı zamanda (1) bağıntılarının x,y,z kartezyen koordinatlarının fonksiyonları olarak q_i genelleştirilmiş koordinatlarının çözülebilir olması için gerek ve yeter şarttır. Bir başka değişle x,y,z ve q_i değerleri arasında birebir karşılıklılık olması için Jakobisyan determinantı sıfırdan farklı olmalıdır.

            Önceden tartıştığımız gibi birbirlerine dik ve büyüklükleri bir olmayan baz vektörleri çalıştığımızda, göz önünde bulundurmamız gerek, bir de ters vektörler kümesi vardır.  baz vektörleri birbirlerine dik iseler ters vektörler baz vektörlerine paralel olurlar. Böylece (1.6) bağıntılarından, birbirlerine dik baz vektörleri kümesi için  ler birim vektörler olmak üzere

            = h_i.                                                                                                      (12)

olarak alırsak, ters vektörler,

                                                                                                         (14)

şeklinde yazılabilir.

            Baz vektörleri birbirlerine dik  olmadıkları zaman durum daha karışıktır. Ancak ters vektörlerin tamamı olan (1.5) bağıntıları kullanmadan ters vektörler bulunabilir. Aynı düzlem içinde olmayan  baz vektörleri için yalnız bir düzlem ters vektörler kümesi olacağından (1.6) bağıntılar sağlayan herhangi bir vektörler kümesi ancak ters vektörler kümesi olabilir.

            q_i genelleştirilmiş koordinatları birbirlerinden bağımsızdırlar, bu nedenle,

ve

veya

olacaktır. Fakat q_i leri x,y,z nin fonksiyonları ve x,y,z yi de q_i lerin fonksiyonları olarak düşündüğümüzde,

                                                (15)

olmalıdır. Bu bağıntıyı (1.7) bağıntıları ile karşılaştırırsal ters vektörlerin,

                                                                (16)

olarak hesaplanabileceğini buluruz. Bu bağıntının sağ yanındaki ifade q_i nin gradientine eşittir.

                                                                                                 (17)

           Örnek:

           x=c .j cosf, y=c .j sin,,f,  z=

veya

bağıntıları ile tanımlanan paraboloidal koordinatları ele alalım. (13) bağıntısını kullanarak baz vektörlerini,

olarak buluruz. Bu vektörler birbirlerine diktirler ve büyüklükleri h₁=h₂ , h₃=cj dür. (18) bağıntıları yardımıyla ters vektörler

şeklinde bulunur.