fizik

ana

üniversite

KRİSTAL ÖRGÜLERİN DİNAMİĞİ

Yazar fizik

Çarşamba, 21 Şubat 2007

Kristal yapıları incelerken atomların örgü noktalarında hareketsiz olduğunu kabul etmiştik. Bu kabul, olayların anlatılmasını ve anlaşılmasını kolaylaştırmak içindir. Bu sayede matematiksel ifadeler sadelik kazanır. Gerçekte örgü noktalarındaki atomlar hareketsiz değildirler. Yani denge konumunda sıcaklığa bağlı olarak salınım (titreşim) hareketi yaparlar. Örgü titreşimleri ile bu titreşimlerin kristalin ses ve ışık ile ilgili özelliklerinin etkisi incelenmektedir. Örgü titreşimleri soğurulan ısı miktarını katı içinde ısının iletimi ile ilgilenir. Bu da katının ısısal özellikleri hakkında bilgi verir.

Sürekli Ortam: Katılar atomlardan oluşur ve bu kesiklik örgü titreşimlerinin incelenmesinde esastır. Titreşim hareketinin dalga boyu kristalin örgü sabitinden çok büyük ise katının atomlardan oluşan kesikli yapısı göz ardı edilebilir. Ve katı sürekli bir madde ortamı olarak ele alınabilir. Böyle bir ortamdaki dalgalara esnek dalgalar denir.

Model olarak ele alınan sonsuz uzun çubuk şeklindeki bir cisimde yayılan esnek dalgayı inceleyelim. Taşıyıcı ortamın sürekli olduğunu ve çubuk boyunca ilerlediğini düşünelim. Bu durumda hareket tek boyutta sınırlanmış olur. çubuk üzerindeki bir x noktasının yer değiştirmesini fonksiyonu ile temsil edelim.

Sonsuz Uzun Esnek Çubuk

A: çubuğun kesiti

Buna göre birim uzunluk başına yer değiştirmeye “zorlanma” denir. (zorlanma:E)

:yer değiştirme

Birim yüzey başına etki eden kuvvete ise “zor” denir. S ile gösterilir. X’in bir fonksiyonudur. Hooke yasasına göre sonsuz küçük yer değiştirmeler için zor ile zorlanma doğru orantılıdır.

Esnek ortamda ilerleyen dalgayı veren dalga denklemini elde edebilmek için şekilde dx kadar keyfi bir yüzey elemanı seçelim. Çubuğun yapıldığı maddenin yoğunluğu ve kesit alanı da A olsun. Buna göre dx elemanının hareketi;

şeklindedir.

Eşitliğin sağ tarafındaki A yüzeyine +x ekseni boyunca etki eden kuvvetini, -x ekseni boyunca A yüzeyine etki eden kuvvetini verir.

Yeteri kadar küçük dx elemanı için eşitliğin sağ tarafındaki terim;

tir.

Klasik Dalga Denklemi

k: dalga vektörü

w: açısal hız

Faz Hızı:

İlerleme doğrultusundaki aynı fazdaki noktaların ilerleme hızına faz hızı denir ve bu hız sabittir.

bağıntısına sürekli ortam için dispersiyon bağıntısı denir. Böyle sürekli ortamdaki dalgalara esnek dalgalar denir.

Esnek dalga için dağınım eğrisi çizgiseldir ve bu doğrunun eğimi sesin o ortam içindeki yayılma hızını verir. Benzer şekilde ifadesi de çizgisel olup boşlukta ilerleyen ışığın dağınım eğrisini verir.

Sürekli Ortamın Modlarının Belirlenmesi

Sonsuz uzun çubuğu dikkate aldığımızda çubuk üzerinde ilerleyen dalga için çözüm ilerleyen bir dalga çözümü idi ve şeklinde idi. Bu çözüme sınır şartlarını uygulayalım.

Sınır şartları çubuğun uçlarına uygulanan dış sınırlamalar tarafından belirlenir. Sınır şartları çubuğun uçlarına uygulanacağına göre artık çubuğumuz sonsuz uzunlukta değildir.

Çubuğun uçları değişik hareket yapmaya zorlanabilir.

1- Her iki uç aynı hareketi yapabilir.

2- Bir uç sabit diğer uç serbest olabilir.

3- Her iki uç ta hareketsiz olabilir.

Periyodik sınır şartımızı çubuğun her iki ucunun aynı hareketi yapmaya zorlandığı durumu dikkate alarak uygulayalım.

Çubuğun boyu L ve koordinat başlangıcı olarak da çubuğun sol yanı seçilirse, periyodik sınır şartı:

K değerlerinin tanımladığı bu dalgalar çubuk üzerinde bulunabilir.

Dalga sayısı K ile sınırlandırılmıştır.

veya şekildeki izinli K değerleri salınımın bir modunu verir. Her mod kendi bağımsız dalga boyu ile salınır.

ÖDEV: Periyodik sınır şartını çubuğun her iki ucunun da hareketsiz kaldığı duruma uygulayarak K’nın aldığı değerleri bulunuz.

Sürekli Ortamın Modlarının Sayısı

Mod Yoğunluğu:

K uzayında keyfi bir dK aralığı seçelim ve bu aralıkta olan modların sayısını bulmaya çalışalım. L uzunluğunun sonsuz büyük fakat sonsuz olmadığını kabul edelim. Böylece K noktalarını yarı süreklilik durumunda olmaları sağlanmış olur. Bu kabul yukarıda kullandığımız çubuk için geçerlidir. Periyodik sınır şartının sağlanması sonucu elde edilmiş olan K noktaları arasındaki uzaklık olduğunda K uzayındaki her aralığına bir mod düşer. Buna göre dK arasındaki modların sayısı;

olur.

K ile arasındaki bağıntıdan faydalanarak arasındaki modların sayısı da;

olur.

Buna göre mod yoğunluğu birim frekans aralığına düşen modların sayısıdır.

NOT: Durum yoğunluğunu hesaplarken +K yanında –K’larda da bulunan modlar olduğu dikkate alınmalıdır. Bu nedenle durum yoğunluğu ifadeleri 2 ile çarpılmalıdır.