fizik

ana

üniversite

Genel fizik

GAUSS KANUNU

Yazar fizik

Cumartesi, 10 Şubat 2007

Coulomb Kanunu elektrostatik için geliştirilmiştir, ancak simetrik durumları içeren problemlerde kullanımı uygun pek de elverişli değildir. Gauss Kanunu özel simetrik durumların avantajlarından yararlanmak için kullanılabilir. Elektrostatik problemleri gözönüne alındığında Gauss Kanunu ile Coulomb Kanunu özdeştir. Gauss Kanunu Gauss Yüzeyi olarak adlandırılan kapalı yüzeylerin varsayımına dayanır. Gauss Yüzeyi herhangi bir şekilde olabilir, ancak en yararlı yüzeyler simetrik yüzeylerdir. Bu nedenle Gauss yüzeyi olarak; küre, silindir vb. simetrik şekiller seçilir.

Gauss Kanunu; kapalı bir Gauss yüzeyinin herhangi bir yerindeki elektrik alan ile bu yüzey tarafından çevrelenmiş olan net yük arasındaki ilişkiyi verir.

Şekilde küresel bir Gauss yüzeyi gösterilmektedir.

Yüzeyin her yerindeki elektrik alanı biliyorsanız ve bütün alanlar aynı büyüklüklte ve yarıçap doğrultusunda yönlenmişse, Gauss Kanunu hakkında hiçbirşey bilmeseniz de Gauss Yüzeyi içinde net pozitif yük olduğunu tahmin edebilirsiniz.

Hesap yapmak için “ne kadar” elektrik alanın bu yüzeyden geçtiğini bilmelisiniz. Bu “ne kadar” sorusunun yanıtı yüzeyden geçen elektrik akısıdır. Bu nedenle önce akıyı tanımlamalıyız.

ELEKTRİK AKISI

Bir yüzeyden geçen elektrik alan çizgileri sayısı Elektrik Akısını verir:

(Birimi: )

1: q > 90^o

F_E < 0

2: q = 90^o

F_E = 0

3: q < 90^o

F_E > 0

1: Akı negatif (Elektrik alan yüzeyin içine doğru)

2: Akı sıfır (Elektrik alan yüzeye paralel)

3: Akı pozitif (Elektrik alan yüzeyin dışına doğru)

Bir Gauss yüzeyindeki elektrik akısı yüzeyden geçen elektrik alan çizgilerinin net sayısıyla orantılıdır.

ÖRNEK: Şekildeki silindir şeklindeki Gauss yüzeyi düzgün bir elektrik alan içinde yer almaktadır. Elektrik alan silindir eksenine paraleldir. Bu kapalı yüzeyden geçen elektrik akısını hesaplayın. (Yanıt: 0)

ÖRNEK: Şekildeki küpten geçen elektrik akısını hesaplayın. (Yanıt: 0)

GAUSS KANUNU

Gauss Kanunu kapalı bir yüzeyde bulunan yük ile bu yüzeyden geçen elektrik alan arasındaki ilişkiyi verir:

Gauss Yasası ile verilen q_iç yükü Gauss yüzeyinin içinde kalan net yüktür; pozitif, negatif ya da sıfır olabilir.

- q_iç> 0 ise net akı dışarı doğru

- q_iç< 0 ise net akı içeri doğru

- q_iç= 0 ise net akı sıfır yani yüzeye giren alan çizgileri ile yüzeyden çıkanların sayısı eşittir.

GENEL KURALLAR:

1.Yüzey dışındaki yükün akıya katkısı yoktur.

2. Kapalı bir yüzeyde yük yoksabu yüzeyden geçen akı sıfırdır (yüzeye giren ve çıkan akı eşittir)

3.Herhangi bir kapalı yüzeyden geçen akı, yüzeyin şeklinden bağımsızdır.

ÖRNEK: Yandaki şekildeki herbir yüzey için akıyı bulun.

GAUSS YASASI’NIN YÜKLÜ YALITKANLARA UYGULANMASI

1. NOKTASAL BİR YÜKÜN ELEKTRİK ALANI

Gauss yasasından yararlanarak, noktasal bir yükün elektrik alanını hesaplayınız.

Çözüm: Merkezi q yükünde olan r yarışçaplı bir küresel Gauss yüzeyi seçilir. Bu yükün elektrik alanı simetriden dolayı çap boyunca dışarı doğru olacağından yüzeye her noktada diktir.

Bu sonuç Coulomb yasasından çıkarılan nokta yükün bilinen elektrik alanıdır.

2. KÜRESEL SİMETRİLİ YÜK DAĞILIMI İÇİN ELEKTRİK ALANIN HESAPLANMASI

a yarıçaplı yalıtkan dolu bir kürenin düzgün yük yoğunluğu r ve toplam artı yükü Q’dur.

A) Kürenin dışındaki bir noktada,

B) Kürenin içindeki bir noktada elektrik alanı hesaplayın.

ÇÖZÜM:

A) r > a ise;

B) r< a ise;

Bu durumda küre ile aynı merkezli ancak daha küçük yarıçaplı bir Gauss yüzeyi seçilir. Bu küçük kürenin hacmi V₁ olsun. V₁hacimli küre içindeki q_iç yükü, küre içindeki toplam Q yükünden daha azdır:

q_iç = r V₁ =

222

3.İNCE KÜRESEL BİR TABAKANIN ELEKTRİK ALANI

a yarıçaplı ince küresel bir tabakanın yüzeyinde düzgün olarak dağılmış Q yükü bulunmaktadır. Tabakanın içinde ve dışındaki elektrik alanı hesaplayın.

Tabakanın İçinde elektrik alan sıfırdır, çünkü q = 0’dır.

Tabakanın dışında; r yarıçaplı (r > a) bir Gauss küresi seçilerek;

elde edilir.

4. Silindirik Simetrili Yük Dağılımı

l sabit doğrusal yük yoğunluklu, sonsuz uzunlukta doğrusal artı bir yüketn r uzaklığında elektrik alanı bulunuz.

Yük dağılımı simetrisinden dolayı E doğrusal yüke dik ve dışarı doğru yönelimlidir. uzunluğunda r yarıçaplı silindirik Gauss yüzeyi seçilir.

A = 2pr

E (2pr) =

5. Yalıtkan Düzlem Bir Yük Tabakası

s düzgün yüzey yük yoğunluklu, yalıtkan sozsuz artı yüklü bir düzlemin elektrik alanını bulunuz.

E düzleme dik ve düzlemden eşit uzaklıktaki mesafelerde eşit olmalıdır. Simetriyi yansıtan Gauss yüzeyi ekseni düzleme dik, A alanlı, tabanları düzlemden eşit uzaklıkta olan küçük bir silindirdir.

Silindirin tabanlarından geçen akı;

F_E= 2EA’dır.

qiç = sA

F_E= 2EA =

E = s / 2 e₀

ELEKTROSTATİK DENGEDEKİ İLETKENLER

Bir dış elektrik alan altında iletken bir dilim. Dilimin iki yüzeyinde etkile oluşan yükler, dilim içinde bileşke alanı sıfır yapacak bicimde, dış alana karşı bir elektrik alan oluştururlar.

1. Bir iletken içinde her yerde elektrik alan sıfırdır.

2. Yalıtılmış bir iletkende bir yük varsa bu yük iletkenin yüzeyinde yer alır.

3. İletken içinde elektrik alan sıfır olduğuna göre, iletken içinde olan bir Gauss yüzeyi içindeki akı sıfır olmalıdır. Bu durumda Gauss yüzeyi içinde net yük sıfır olmalıdır. Eğer fazlalık yük varsa, bu yük Gauss yüzeyi dışında olmalıdır yani iletkenin yüzeyinde yer olmalıdır.

ÖRNEK:

A yarıçaplı iletken dolu bir kürede net +2Q yükü bulunmaktadır. İç yarıçapı b, dış yarıçapı c olan iletken küresel bir tabaka, dolu küreyle aynı merkezlidir ve –Q net yükünü taşımaktadır. Gauss yasasını kullanarak tüm sistem elektrostatik dengede iken 1, 2, 3 ve 4 bölgelerindeki elektrik alanını ve küresel tabakadaki yük dağılımını bulunuz.

1 : E = 0 ; q_iç = 0

2 : E₂A = E₂(4pr²) = q_iç/ e₀ = 2Q/e₀ ise E = 2Q/4pe₀r²