fizik

ana

ELEKTRİKSEL POTANSİYEL

Yazar fizik

Cumartesi, 10 Şubat 2007

ELEKTRİKSEL POTANSİYEL ENERJİ

Yüklü cisimler tarafından oluşturulan E elektrostatik elektrik alanı içine bir q_o yükü konulduğunda bu yük üzerine etki eden elektrostatik kuvvet;

F = q_oE

ifadesiyle verilir ve korunumludur.

ANIMSATMA: Bir kuvvet korunumluysa;

1. Bu kuvvetin yaptığı iş yoldan bağımsızdır,

2. Korunumlu kuvvet tarafından yapılan iş potansiyel enerjinin negatifidir.

Bir sistemin mekanik enerjisi E, sistemin potansiyel enerjisi U ile sistemin kinetik enerjisi K’nın toplamıdır:

E = U + K

Bir sistemdeki bir cisim üzerinde korunumlu bir kuvvet W işini yaparsa, cismin kinetik enerjisi K ile sistemin potansiyel enerjisi U arasında enerji aktarımı olur. Bu durumda kinetik enerjideki değişim;

DK = W ( K₂ – K₁ = W )

ve potansiyel enerjideki değişim;

DU = - W ( U₂ – U₁ = -W )

olmalıdır ki sistemin mekanik enerjisi E korunsun:

DK = - DU

K₂ – K₁ = - (U₂ – U₁) Þ K₂ + U₂= K₁ + U₁

[Enerji korunumu]

Elektrostatik kuvvet de korunumlu bir kuvvet olduğundan, bir elektrik alan içine koyulan bir deneme yükü A noktasından B noktasına hareket ettilirse, yük alan sisteminin potansiyel enerjisi;

DU = U_B – U_A = - W

kadar değişir.

DU = U_B – U_A = - W = - = - [1]

Elektriksel potansiyel enerjinin en genel ifadesi budur. Eğer elektrik alan her yerde düzgünse, d, A ve B arasındaki doğrusal uzaklık olmak üzere ifade basitleşir:

3. ELEKTRİKSEL POTANSİYEL

Bir elektrik alan içindeki yüklü bir parçacığın potansiyel enerjisi Eşitlik 1’den de görüleceği gibi yükün büyüklüğüne bağlıdır.

ÖRNEK: Bir alan alan içinde herhangi bir nokatda bulunan +1.6 x 10^-19C yükünde bir deneme yükünün bu noktadaki elektriksel potansiyel enerijisi 2.40 x 10^-17J ise yük başına potansiyel enerji;

2.40 x 10^-17J / +1.6 x 10^-19C = 150 J/C

Eğer yükün büyüklüğü +3.2 x 10^-19C olursa, elektriksel potansiyel enerji bu kez,

+3.2 x 10^-19C x 150J/C = +4.80x10^-19J

olarak bulunur. Buna karşın birim yük başına potansiyel enerji değişmez, halen 150J/C’dur.

Birim yük başına potansiyel enerji, U/q_o, q yükünden bağımsızdır ve yalnızca mevcut elektrik alanın bir özelliğidir.

Bir elektrik alandaki herhangi bir noktadaki yük başına potansiyel enerji, o noktadaki elektriksel potansiyel , V ( ya da potansiyel) olarak tanımlanır:

[J/C = V (Volt)] [2]

Elektriksel potansiyel skalerdir.

Bir elektrik alan içindeki herhangi A ve B noktaları arasındaki elektriksel potansiyel farkı, bu iki nokta arasındaki yük başına elektriksel potansiyel enerjideki değişime eşittir:

[3]

İki nokta arasındaki potansiyel fark; bir noktadan diğer noktaya gidilmesini sağlayan elektrostatik kuvvet tarafından yapılan negatif işe karşılık gelir. Potansiyel fark sıfır, pozitif ya da negatif olabilir.

Eğer sonsuzdaki potansiyel enerji için U_A = 0 referans noktası olarak seçilirse, elektriksel potansiyel de bu noktada sıfır olmalıdır. Bu tercih yapılınca bir elektrik alan içindeki keyfi bir noktadaki elektriksel potansiyel pozitif deneme yükünü sonsuzdan bu noktaya getirmek için birim yük başına yapılan işe eşittir denilebilir. Bu durumda Eşitlik 3’te A noktası sonsuzda alınırsa, herhangi bir P noktasındaki elektriksel potansiyel;

[4]

olarak ifade edilir.

Potansiyel farkının birimi Volt (V) olarak tanımlanır.

1 Volt º 1 J/C

Yani “1V’luk potansiyel farkı boyunca 1C’luk yükü götürmek için yapılması gereken iş 1 J’dür”.

Potansiyel fark aynı zamanda Eşitlik 3’ten de görüleceği üzere, elekrik alan ile uzaklığın çarpımına eşittir. Bu nedenle, elektrik alanın SI birimi (N/C), metre başına volt olarak da ifade edilebilir:

1 N/C = 1 V/m

Mikroskopik parçacıkların dünyasında kullanılan diğer bir enerji birimi ise elektron-volt (eV)’tur.

“Bir elektron-volt elektron ya da proton gibi tek bir elementer yük e’yi 1V potansiyel farkı boyunca hareket ettirmek için gereken işe karşılık gelen enerjidir”.

1eV = e (1V) = (1.6 x 10^-19C) (1J/C) = +1.6 x 10^-19J

4. DÜZGÜN BİR ELEKTRİK ALANDAKİ POTANSİYEL FARKI

Potansiyel enerji ve potansiyel fark eşitlikleri E düzgün olsun ya da olmasın her durumda geçerlidir, ancak E düzgün olursa eşitlikler daha basitleşir. Yandaki şekilde - y doğrultusunda yönelmiş bir elektrik alan içinde aralarındaki uzaklık d olan A ve B noktaları arasındaki potansiyel farkı hesaplayalım:

[5]

Bu ifadedeki eksi işareti B noktasının A noktasından daha düşük potansiyelde olmasından yani V_B < V_A olmasından kaynaklanır. Şekilde görüldüğü gibi elektrik alan çizgileri daima elektriksel potansiyelin azalan doğrultusunu gösterir.

Şimdi qo deneme yükünün A’dan B’ye gittiğini varsayalım. Bu durumda potansiyel enerjideki değişme;

[6]

olur. Bu ifadenin anlamı, pozitif bir yük elektrik alan doğrultusunda hareket ederse potansiyel enerji kaybeder, kaybettiği miktarda kinetik enerji kazanır.

Negatif yük durumunda ise potansiyel enerji değişimi pozitif olur, yani potansiyel enerjisi artarken kinetik enerjisi azalır çünkü alana ters doğrultuda ivmelenir.

5. EŞPOTANSİYEL YÜZEYLERİ

Düzgün bir elektrik alana dik olan düzlem üzerindeki bütün noktalar aynı potansiyelde olur yani V_B – V_A = 0’dır. Aynı potansiyele sahip olan noktaların sürekli dağılımlarını oluşturduğu herhangi bir yüzeye eşpotansiyel yüzeyi adı verilir.

ÖRNEK: Şekildeki noktalar bir elektrik alana ait bir seri eşpotansiyel yüzeyleri üzerindedir. Bir pozitif yüklü parçacık A’dan B’ye; B’den C’ye; C’den D’ye; D’den E’ye hareket ettiğinde elektrik alan tarafından yapılan işi büyükten küçüğe sıralayınız.

(Yanıt: A – B : 0; B – C: 2J; C-D: 1J; D-E: -1J)

6. NOKTASAL YÜKTEN KAYNAKLANAN POTANSİYEL ENERJİ VE ELEKTRİKSEL POTANSİYEL

Bir elektrik alan içinde bir deneme yükü, A noktasından B noktasına götürüldüğünde kuvvet tarafından yapılan iş;

olarak yazılabilir. Eğer U_A = ¥ alınırsa ;

[7]

elde edilir. Eğer deneme yükü birden fazla yüklerin örneğin q₁ ve q₂ gibi iki nokta yükün alanındaysa Eşitlik 7;

[8]

haline dönüşür. r₁ ve r₂ sırasıyla deneme yükünün, 1. ve 2. konumdaki nokta yüklere uzaklığıdır.

Eğer deneme yükü birçok parçacığın yarattığı elektrik alanı içinde olursa;

[9]

olarak ifade edilir.

V = U/qo olduğuna göre; bir noktasal q yükünün kendisinden herhangi bir r noktası uzaklıkta oluşturduğu potansiyel, Eşitlik 7’den yararlanarak;

[10]

olur. İki ya da daha fazla yükün bir noktadaki toplam potansiyeli ise;

[11]

olarak ifade edilir. Bu ifade bulunurken sonsuzdaki potansiyel sıfır olarak alınmıştır.

ÖRNEK:

a) İki yükün P noktasında oluşturduğu toplam potansiyeli hesaplayınız.

b) Sonsuzdan P noktasına getirilen 3mC’luk yükün potansiyel enerjisindeki değişmeyi bulunuz.

Yük sonsuzda olduğunda U¥ = 0’dır. P noktasında ise U₃ =q₃V₃

Bu durumda;

DU = q₃V₃– 0 = (3x10^-6C) x (-6.29x10³V) = -18.9x10^-3J

7. ELEKTRİK ALAN ile ELEKTRİKSEL POTANSİYEL ARASINDAKİ İLİŞKİ

E elektriksel alanı ve V elektriksel potansiyel arasındaki ilişki Eşitlik 3’te verilmişti:

Bu eşitliğe göre aralarındaki uzaklık ds olan iki nokta arasındaki dV potansiyeli farkı;

[12]

olarak ifade edilebilir.

Elektrik alanın yalnızca x bileşeni varsa;

[13]

olur. Eğer elektrik alanı oluşturan yük dağılımı küresel simetriye sahipse bu durumda elektrik alan radyaldir ve elektriksel potansiyel;

[14]

olarak bulunur. Genel olarak elektriksel potansiyel, üç uzaysal koordinatın fonksiyonudur. V(r) bir dik koordinat sisteminde verilirse, E_x, E_y ve E_z elektrik alan bileşenleri V(x,y,z)’nin kısmi türevlerinden bulunabilir:

ÖRNEK: V = 3x²y + y² + yz) ise E_x, E_y ve E_z’yi bulun.

ÖRNEK:

Bir proton pozitif x ekseni doğrultusu boyunca yönelen 8x10⁴V/m’lik düzgün bir alan elektrik alan içinde durgun halden serbest bırakılıyor. Proton bu E alanının etkisiyle 0.5m yer değiştiriyor.

A) A ve B noktaları arasında elektriksel potansiyeldeki değişmeyi bulun.

DV = -Ed = (8x10⁴V/m)x(0.5m)=-4x10⁴V

B) Bu yerdeğiştirme için protonun potansiyel enerjisindeki değişimi bulun.

DU = q_oDV = eDV = (1.6x10^-19C)x(-4x10⁴V)= -6.4x10^-15J

Proton elektrik alan doğrultusunda ilerlerken kinetik enerji kazanır, potansiyel enerji kaybeder.

C) Enerji korunumu kavramını kullanarak B noktasındaki protonun hızını bulun (Yanıt: 2.77x10⁶m/s).

8. YÜKLÜ BİR İLETKENİN POTANSİYELİ

Bir iletken net bir yük taşıdığında bu yükün iletkenin dış yüzeyinde olduğunu ve iletkenin içindeki elektrik alanın sıfır olduğunu görmüştük. Elektrik alanın sıfır olması, iletken üzerindeki herhangi iki A ve B noktalarındaki potansiyel farkın;

iletkenin yüzeyindeki her yerde sıfır olmasına neden olur. Bu durumda yüklü bir iletkenin yüzeyinin her yerinde elektrostatik potansiyel sabittir.

ÖRNEK: Birbirine Bağlı Yüklü İki İletken Küre

Yarıçapları r₁ ve r₂ olan iki iletken küre, şekilde gösterildiği gibi iletken bir telle birbirlerine bağlanmışlardır. Denge durumunda küreler üzerinde düzgün dağılmış yükler sırasıyla q₁ ve q₂ ise kürelerin yüzetindeki elektrik alan şiddetlerinin oranını bulunuz.

Küreler birbirlerine iletken bir telle bağlı olduklarından her ikisi de aynı elektriksel potansiyeldedir yani,