fizik

ana

Nehir soruları

Madde İçinde Elektrostatik

Yazar fizik

Cuma, 09 Şubat 2007

Madde İçinde Elektrostatik

1) Giriş:

Birinci bölümde serbest uzayda elektrostatik yasalarını inceledik. Bu bölümde maddi cisimlerin elektrostatik alanlar içindeki davranışlarının incelenmesini klasik elektromagnetizma içinde vereceğiz ve yasaların bu davranışlarını hesaba katmak üzere nasıl düzeltileceklerini göstereceğiz. Önceden de belirtildiği gibi klasik elektromagnetizma kuantum mekaniği yasalarının “önemli olmadığı” boyutlardaki olaylarla ilgilenir: Örneğin, Gauss Teoremi,

(1)

gibi bağıntılarda dyüzey elemanı ve dt hacim elemanının atomik boyutlarda homojen atomlar olduğunu veya pek çok molekülü kapsayacak şekilde atomik boyutlara kıyasla yeteri kadar büyük olduklarını varsayıyoruz.

Elektriksel özelliklerine göre çeşitli maddeler iki gruba ayrılabilir: içinde elektrik yüklerinin serbestçe hareket edebildiği iletkenler ve yalıtkanlar (veya dielektrik maddeler) yüklü bir iletkenin içinde elektrik alanı sıfırdır ve bütün noktalar aynı potansiyeldedirler, bütün yükler belli bir denge konumundadırlar, herhangi bir şekilde bu denge bozulursa denge yeniden sağlanıncaya kadar yükler hareket ederler. Yüklü bir iletkenin yüzeyi üzerindeki noktalar için benzer tartışmalar aşağıdaki sonuçları verir:

1. Yüklü bir iletkenin yüzeyindeki bir nokta elektrik alanı yüzeye diktir,

2. İçi boş bir iletkenin yüzeyi üzerindeki bütün noktalarda potansiyel sabittir,

İçi boş bir iletkenin içinde kalan keyfi bir yüzeye Gauss Teoremini

uygularsak aşağıdaki sonuca varırız.

3. İçi boş bir iletkenin içindeki net yük sıfırdır, iletken üzerinde net yük sıfır değilse bu yük iletkenin dış yüzeyi üzerinde dağılır.

.2) Sığa (Kapasitör)

-Q

Kapasitör (Sığaç) elektrik yükü depolamak için kullanılan bir araçtır. Basit bir örnek, yandaki şekilde görülen birbirine paralel ± Q kadar yük taşıyan iki iletken levhadan oluşan paralel levhalı kondansatördür. Kondansatör üzerindeki net yük sıfırdır

ve levhalar arasındaki potansiyel farkı V = V₂ – V₁ ise Q / V oranı kondansatörün sığası C yi tanımlar. C bütünüyle levhaların birbirlerine göre konumları, boyutları v.s. gibi geometrik çarpanlara bağlıdır ve ilke olarak C bu bilgiler yardımı ile hesaplanabilir. Aşağıdaki basit örnekte paralel levhalı kondansatörün sığasını hesaplayacağız.

C yi hesaplayabilmek için önce V yi arasıdaki alanını bulmak gerekir. Bizim alanında s kadar yük taşıyan sonsuz geniş bir düzlemsel yük dağılımının alanı ifadesinden,

(2.2)

olacaktır. olduğuna göre buradan,

bulunur. Buradan C sığa tanımını kullanarak A levhaların alanı olmak üzere,

C = Ae_o/d (2.3)

olarak bulunur. Pratikte kondansatör levhaları sonsuz geniş değildirler ve nedenle alanı (2.2) bağıntısı gibi verilmez. Bu nedenle yukarıda verilen sonuç yaklaşık bir ifadedir.

2.3) Kutuplanma

1837 yılında Faraday paralel levhalı bir kondansatörün levhaları arası cam veya mika gibi bir dielektrik madde ile doldurulduğunda sığasının büyüdüğünü gösterdi. Artan sığanın levhalar arası boş iken sığa oranı t_r ye 0 elektrik maddenin bağıl geçirgenliği adı verilir ve çeşitli madde t_r değerlerine göre dielektrik olarak sınıflandırılırlar. Bazı dielektrik maddeler için E_r değerleri aşağıda verilmiştir. E_r deneysel olarak tayin edilebilen bir büyüklüktür ve eski adı K “dielektrik sabiti” dir. Bağıl geçirgenlik değerleri statik veya alternatif gerilimler altında ölçüldüğünde farklı farklı bulunurlar. Ayrıca E_r alternatif gerilimin frekansına da bağlıdır. E_r nin elektrik alanının frekansına bağımlılığı, optik elektromagnetik dalgalarla ilgili oldukça yüksek frekanslar için çok önemli olur.

Madde

E_r (Statik)

Boşluk

Hava

Cam

1.0006

~ 6

Cam ve mika gibi dielektrik maddeler, metalik iletkenlerden, bir dış elektrik alanı etkisi altında serbestçe hareket edebilen serbest elektronlara sahip olmamaları nedeniyle farklıdırlar. Bir dielektrik madde dilimine gibi bir dış alan uygulanırsa, bağlı elektronlar alanının ters yönünde az bir miktar yer değiştirirken, çekirdekler alan yönünde daha az miktar yer değiştirirler. Dielektrik dış alnın etkisi ile polarize olmuştur demir ve bu kutuplamanın sonucu olarak moleküler indükleme dipol momentine sahip olurlar. Örnek ye paralel polarize olmamış ise dilelektrik madde bir bütün olarak, yüksüz olmasına rağmen dilimin alan dik yüzeyleri üzerinde eşit fakat zıt işaretli yük farklılıkları oluşur.

Bu bölümün yeri kalan kısmında, kutuplanmayı klasik elektromagnetizma bakış açısından makroskopik olarak ele alacağız. Bu şekilde dp hacim elemanı moleküler ölçülerde yeteri kadar büyük olmak üzere dikkatimizi,

(2.4)

indüklenmiş dipol elemanı üzerinde toplayacağız. kutuplanma vektörü ile alanı arasında şeklinde fonksiyonel bir bağıntı olacağını varsaymak mantıklı görünür ve gerçekte de durum budur. Dielektrik maddeler dış alana cevaplarına göre sınıflandırılırlar, ancak bu cevap deneysel olarak ölçülmelidir. Mümkün en basit durumda, kutuplanma ile doğru orantılıdır:

(2.5)

böyle bir maddeye lineer dielektrik adı verilir. Bu özelliğe ek olarak dielektrik maddenin elektriksel özellikleri uzaysal yönelişe bağlı değilse, bu tip bir dielektrik maddeye “lineer izotropik dielektrik” adı verilir, ve,

(2.6)

yazılabilir, burada c_e katsayısına dielektriğin “elektrik alınganlığı” adı verilir ve skaler bir büyüklüktür. İzotropik veya kübik simetriye sahip olmayan maddeler için farklı yönelişlere sahip olabilirler; bu durumda,

(2.7)

yazılabilir veya Ek-A da verildiği gibi tensör notasyonu ile daha kompakt formda,

(2.8)

yazılabilir. Ayrıca lineer olmayan dielektrikler için,

li terimler + ... (2.9)

olacaktır ve belli bir dielektrik maddenin doğru sınıflandırılmasının yalnızca deneysel olacak tayin edilebileceğini vurgulamalıyız. Bütün dielektrikler à 0 için lineer davranırlar. Son bir durum olarak, bazı moleküllerin daimi moleküler elektrik dipol momentleri bir dış alan olmasa bile kısmi olarak belli bir düzen içinde bulunabilirler. Bu gibi maddelere, sürekli magnetlerin elektrostatik benzeri olarak “elektret” adı verilir.

2.4) Kutuplanma Yükleri

Bir dielektrik madde üzerinde dış elektrik alanının etkisini, herbir dp hacim elemanı içinde dp kadar dipol momenti indüklemektedir. Dilelektrik dışındaki noktalar göz önüne alındığında, sonuç olarak elde edilecek potansiyel, dielektrik boyunca belli bir hacimsel yük yoğunluğu ve örneğin yüzeyindeki belirli bir yük dağılımı ile elde edilecek sonuçla aynı olur.

Aşağıdaki şekildeki P alan noktasında potansiyeli hesaplamak istiyoruz. (1.26)

Bağıntısında dipolü nedeniyle oluşacak potansiyel,

dielektrik

Alan noktası

Başlangıç noktası

(2.10)

olacaktır, burada vektörü sabit bir vektör olarak ele alınacak ve P noktasındaki toplam integrali bulabilmek için dt hacim elemanı tüm dielektrik hacmini tarayacağından vektörü değişken olacaktır. Tanım olarak,

alınarak

(2.11)

bulunur, buradan,

ve P noktasındaki potansiyel,

(2.12)

olarak verilir.

eşitliğini kullanarak (2.12) bağıntısı yeniden yazılabilir:

(2.13)

Ek-A da verilen diverjans teoremini, yukarıdaki denklemin sağ yanındaki ikinci hacim integralini yüzey integraline çevirmek için kullanırsak,

(2.14)

bulunur, veya r_p=eşitliklerini kullanarak,

(2.15)

elde edilebilir, burada r_p=dir. Bu şekilde polarize olmuş bir örneğin oluşturduğu potansiyel, yoğunluğundan yüzey kutuplarına yükü s_p ye eşit r_p kutuplanma yükünden oluşmuş olarak yorumlanabilir. Dielektrik ortam düzgün bir şekilde polarize olmuş ise sabittir. r_p=olur. r_p nin hesaplanmasında, gradientin alan noktasının koordinatları ye göre değil de, dielektrik içindeki noktanın koordinatına göre alınacağı vurgulanmalıdır. Dielektrik içinde bağlı elektronlar ve protonlar nedeniyle moleküler seviyede oluşan yük yoğunluklarına s_b ve r_b bağlı yük yoğunlukları denir. ve dielektriğin tüm hacmi içinde dağılmış

+Q_serbest

-Q_serbest

e_r = 2

2.5) Elektrik Yerdeğiştirme,

Bir dielektrik madde, bir kondansatörün plakası arasına yerleştirildiğinde, indükleme ile oluşan yüklerin işareti daima, dielektrik içindeki elektrik alanını boşluktaki alana oranla küçültecek şekildedir. Şekilde kondansatör levhaları arasına bağıl geçirgenliği e_r = 2

olan bir dielektrik madde konulduğunda etkinin ne olacağı gösterilmiştir. Bir sonraki kesimde gösterileceği gibi, dielektrik içindeki alan ½ kadar azalır. Örneğin dielektrik maddenin varlığı halinde Gauss Teoreminin kullanarak elektrik alanının hesabında (2.16) denkleminin sağ yanında Q_toplam= Q_serbest+ Q_kutuplanma dır, burada Q_serbest genellikle “dış yük” adını alır. Bu şekilde (1.31) bağıntısı,

(1.31)

(2.16)

veya

(2.17)

olarak yazılabilir ve (2.17) bağıntısının sağ yanı yalnızca serbest yükleri kapsadığı için, vektörünü vektörü yerine kullanmak daha kullanışlıdır ve geleneksel olarak bu yapılır, çünkü kutuplama yükleri deneycinin kontrolü dışında dielektrik maddenin yapısına bağlıdır buna karşı serbest yüklerin dağılımı dışarıdan kontrol edilebilir,

(2.18)

vektör alanına “elektrik yerdeğiştirme” adı verilir ve Gauss Teoremi cinsinden,

(2.19)

olarak veya diferansiyel forumda,

(2.20)

şeklinde yazılır. Ancak burada arasındaki fark çok önemlidir: elektrik alanı , ortam ve olursa olsun, açık ve net bir fiziksel anlama sahiptir. Elektrik yerdeğiştirme alanı , diverjansı yalnızca serbest yük yoğunluğuna bağlı olan bir vektör alanı olarak tanımlanmıştır. , e_ove nin boyutu yük/bölü uzunluk karesidir.

Verilen bir dış yük dağılımı için sabit bir vektör alanıdır, alanı e_r çarpımı kadar küçülür ve alanı yalnızca dielektrik örnek içinde vardır.

2.6) D nin Bazı Özellikleri

1) =e_oc_eolarak verilen lineer izotropik bir ortamda,

= e_o+= e_o (1+c_e)

= e (2.21)

burada, v=e_oe_r ortamın geçirgenliği ve e_r=(1+c_e) olarak verilir.

2) Geçirgenliği e olan lineer, izotropik bir ortam içinde tek bir Q nokta yükü olduğunu varsayalım. Q yu çevreleyen R yarıçaplı bir küreye Gauss Teoreminin uygun şeklini uygularsak,

4pR²D=Q

ve buradan elektrik alanı,

E=Q/4peR²

olarak bulunur ve bu şekilde devam ederek geçirgenliği e olan bir ortam içinde q₁ ve q₂ yükleri arasındaki kuvvet ifadesi,

(2.22)

olarak elde edilir, böylece yükler arasındaki yükler arasındaki kuvvet boşluğu oranda e_r kadar küçültülmüş olur.

3) Levhalar arası lineer ve izotropik bir ortamla dolu bir kondansatörün sığası,

olarak bulunur, yani sığa (1+c_e) çarpım kadar artar ve buradan,

(1+c_e) = m = e_r

bağıntısı dielektrik sabiti, bağıl geçirgenlik ve elektrik alınganlık arasındaki ilgiyi gösterir.

2.7) Elektrostatik Enerji

Bu bölümün son kesimin, bir elektrostatik yük dağılımı içinde depolanan enerji yoğunluğunun olduğunu göstereceğiz. Aşağıdaki basit tartışma bu iddianın doğruluğunu gösterecektir: sığası C olan bir kondansatörün yüklenmesi için yağılan işi ele alalım; belli bir anda levhalar arasındaki potansiyel farkı V¢ olsun ve dq¢ kadar yük sabit V¢ potansiyel farkı altında bir levhadan diğerine aktarılsın, yapılan iş,

dW=V¢dq¢=q¢dq¢/C (2.23)

olacaktır. Bu bağıntıyı integre ederek levhalar üzerinde ±q kadar yük toplamak için yapılan iş hesaplanabilir:

W=q²/C =CV² (2.24)

Yukarıdaki hesap herhangi kondansatör için doğrudur. E = s / e ve C = eA/d olan paralel levhalı bir kondansatör özel durumu için (2.24) bağıntısı,

(2.25)

şeklini alır. Birim hacimde depolanan iş, veya “enerji yoğunluğu” eE²/2 veya olur. şimdi bunun herhangi bir elektrostatik alan için geçerli genel bir sonuç oluğunu göstereceğiz.

q₁ ve q₂ nokta yüklerinin noktalarında bulunduklarını düşünelim. q yükünün alanı içinde q₁ yükünü sonsuzdan noktasına getirmek için yapılan iş,

(2.26)

olarak verilir ve simetrik olarak bu q₂ yi q₁ in alanı içinde sonsuzdan noktasına getirmek için yapılan işe eşittir. Bu nedenle U_1,2 ye iki yükten oluşan sistemin “karşılıklı potansiyel enerjisi” adını veririz. q₁, q₂, q₃, ... q₄ den oluşan nokta yükler sistemi için karşılıklı potansiyel enerji,

(2.27)

olarak verilir, burada,

olarak verilir ve (2.27) deki toplam etkileşen çiftleri yalnız bir defa sayar. (2.27) denklemi,

(2.28)

şeklinde yazılabilir ve bir nokta yükün potansiyeli tanımından V() noktasında q_i dışındaki bütün yükler nedeniyle oluşan potansiyel olmak üzere,

(2.29)

yazılabilir. Sürekli yük dağılımları için (2.29) denklemi,

(2.30)

şeklinde yazılabilir. (2.30) bağıntısının boşluk için yazıldığına dikkat ediniz. Gauss teoremini kullanarak,

şekliyle (2.30) da kullanılırsa,

yazılabilir ve,

eşitliği kullanılarak (2.31) bağıntısı,

veya tanım olarak olduğundan,

şeklini alır. Bu bağıntının sağ tarafındaki ikinci terim diverjans teoremi kullanılarak,

olarak yazılabilir ve S yüzeyi üzerinde Vnin sıfır olacağı sonsuz bir küre olarak seçilebilir ve böylece bu terin sıfır olur ve,

(2.32)

olarak bulunur. Böylece boş uzay için enerji yoğunluğu olur. Bir dielektrik ortam içinde (2.30) denklemi,

şeklini alacaktır, burada V() serbest yüklerin yanısıra polarizasyon yükleri tarafından oluşturulan potansiyeldir. bağıntısını kullanarak ve yukarıda verilen tartışma izlenerek dielektrik ortam içinde enerji yoğunluğu olarak bulunur.