fizik

             vektörleri  ve bunlara paralel birim vektörleri    ile temsil edeceğiz. Dik Kartezyen koordinatlarda Ox, Oy ve Oz eksenleri boyunca birim vektörleri  olarak temsil edeceğiz. Dik Kartezyen koordinatlarda  vektörü,

olarak yazılabilir.  vektörünün boyu,

olarak verilir.  ve  gibi iki vektörün skalar

(veya nokta) çarpım,

           . = u v Cos q = .

olarak tanımlıdır, burada  q,  ve    vektörleri arasındaki açıdır.  ve  nin bileşenleri cinsinden,

           . = u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z

olarak hesaplanır.   ve  nin vektörel çarpım x  olarak gösterilir. sonuç olarak elde edilen vektörün boyu  uvSinq  ya eşittir ve doğrultusu sağ el vida kuralı ile verilir.  ve  nin Kartezyen bileşenleri cinsinden vektörel çarpımının hesabı,

olarak yapılabilir, bu tanımdan   x  = -  x   olduğu görülür.

           , ,   gibi üç vektörün üçlü skaler çarpımları  . ( . )

olarak hesaplanır, determinant özelliklerini kullanarak,

olduğu kolayca görülür. Üçlü skaler çarpım sonucu kenarları  vektörlerine paralel olarak kurulan paralelkenar prizmanın hacmine eşittir.

            Üçlü skaler çarpıma benzer biçiminde üçlü vektörel çarpım  olarak tanımlanır, burada çarpım sırasında dikkat etmek gereklidir, çünkü  çarpımı tamamen farklı bir sonuç verir. Üçlü vektörel çarpım,

           =

eşitliğini sağlar.

            Skaler ve Vektörel Alanlar

           Matematiksel olarak, alan uzayın herbir noktasında fiziksel bir büyüklüğü tasvir eden bir fonksiyondur. Bu fiziksel büyüklük uzayın herbir noktasında tek bir sayı ile tasvir edilebiliyorsa (sıcaklık, yoğunluk, elektrostatik potansiyel gibi) bu bir skaler alandır. Vektör alanlar için uzayın  herbir noktasında büyüklük ve doğrultu (veya eş değer olarak üç birleşen) verilmelidir.

Diferansiyel Alma

             vektör alanının  t  skaler değişkeninin sürekli fonksiyonu olsun. bu şekilde  t  değiştikçe   da değişecektir ve örneğin   P noktasının yer vektörü ise,  t  değiştikçe  P  noktası uzayda sürekli bir eğri üzerinde hareket edecektir.

t=t

t=t+dt

C

            Analiz derslerindeki tartışmalara benzer şekilde d /dt türevi  dt à D limitinde d /dt nin alacağı değer olarak tanımlanır,

böylece bir vektörün türevi bileşenlerinin türevleri cinsinden ifade edilir. Diferansiyel alma için bilinen kurallar burada da geçerlidir:

           Gradient

           f(x, y, z) bir skaler alan olsun ve (x, y, z) noktasından sonsuz küçük vektör,

kadar ayrıldığımızda f(x, y, z) nin nasıl değiştiğin bilmek istediğimizi düşünelim. temel analiz bilgilerimizde,

olduğunu biliyoruz. df  ifadesinin d ile belli bir  vektörünün skaler çarpım olarak yazabiliriz,

            df = .d

            Yukarıdaki  iki df bağıntısını kıyaslarsak,

olduğunu görürüz.  vektöründe f nin gradienti adı verilir ve gradient operatörü  (veya “del”)

şeklinde tanımlanmak üzere f şeklinde yazılır. df  diferansiyeli

            df = f.d

olarak yazılır, buradan f nin, büyüklük ve doğrultusu f nin en büyük uzaysal değişim hızına eşit olan bir vektör olduğunu görürüz. f,  f  nin  daha büyük değerlerine doğru yönelmiştir.

           Çizgisel İntegraller

integrallerinin  a  noktası ile  b  noktasını birleştiren belirli bir eğri boyunca hesaplanırlar ve bu nedenle çizgisel integralin adını alırlar. Bu integrallerden ilki elektromegnetizma için özellikle önemlidir; Örneğin  elektrostatik alan içinde  Q  yükünü  a  noktasından  b  noktasına taşımak için yapılan iş,

olarak hesaplanır. Bu integralin hesaplanabilmesi için    ve   a  yı  b  ye    birleştiren eğri (yani d ) koordinatlarının bilinen fonksiyonları olmalıdır. Çizgisel integralde  a  ve  b  noktaları aynı ise integral kapalı bir yörünge boyunca olur ve

olarak temsil edilir. Belki bir vektör alanının herhangi bir kapalı yol boyunca çizgisel integrali sıfır ise, bu vektör alanına “korunumlu alan” adı verilir.

 Yüzey ve Hacim İntegralleri

             vektör alanını ve şekilde görülen S yüzeyini gözönüne alalım. S yüzeyini dS₁, d S₂, ..., dS_n  gibi küçük parçalara ayıralım. Her bir yüzey parçasının bulunduğu yerde  vektör alanının “ortalama” değerini ₁, ₂, ... _n ile gösterilim ve her bir dS_k yüzeyinde dik birim vektör  dS_k nın dışına doğru pozitif alınır.

             vektör alanının  S  yüzeyi üzerindeki akışlı toplamını hesaplar ve dS_i à D  limitini alırsak yüzey integrali  kavramına varırız:

Genel olarak sonsuz küçük yüzey elemanın

d dS

olarak tanımlanır, böylece yüzey integrali,

şeklinde yazılır ve S  yüzeyi kapalı bir yüzey ise

şeklinde gösterilir, burada d her yerde yüzeyin  içinden dışına doğru yöneltilmiştir. Böyle bir integrali hesaplayabilmek için  ve  d yi açık fonksiyonel formda ifade edebilmeliyiz. İki değişken üzerinden hesaplanan integrallere çift hatlı integraller adı verilir. Genel olarak,

            : A’nın S yüzeyi üzerinden akışı integrali çift katlı integraldir.

vektör  : Kapalı yüzey boyunca yüzey integrali (Çift katlı integral)

vektör  : Kapalı yol boyunca çizgi integrali (Tek katlı integral)

vektör  : Kapalı hacim boyunca hacim integrali (Üç katlı integral)

hacim integralinde   dt  uzayın  V  gibi bir bölgesinde sonsuz küçük hacim elemandır. Hacim integralleri üç katlı integrallerdir. (Örneğin Kartezyen koordinatlarda               dt= dx.dy.dz dir.)

            A-7) Akı

            Elektromagnetizmada çoğu zaman bir vektör alanının bir yüzey üzerinde akısını hesaplama gerekir. dyüzey elemanı üzerinde  alanının akısı .dolarak tanımlıdır ve sonlu bir S yüzeyi üzerinde  nın akısı

olarak hesaplanır, burada d nin yönü yukarıda tanımlandığı gibi yüzeyin içinden dışına doğrudur.

            Diverjans Teoremi (Gauss Teoremi)

            Yukarıdaki kesimde  vektör alanının S yüzeyi üzerinden akısının,

olarak hesaplanacağını gördük. Akının hesabı için aşağıdaki gösterilecek değişik bir yöntem daha vardır. (x, y, z) noktasını içine alacak şekilde yerleştirilmiş dx, dy, dz sonsuz küçük hacim elemanını göz önüne alalım.  alanının bileşenlerinin x, y, z koordinatlarının fonksiyonları olarak belirlediklerini varsayalım ve I ve II yüzeyleri boyunca  nın akısının hesaplayalım. Sağ yüz üzerinde A_x üç değeri bu yüz üzerindeki ortalama değerdir, böylece dışarı doğru akı,

sol yüzdeki akı içeri doğrudur:

böylece bu iki yüzden geçen toplam dışarı doğru akı (¶A_x/¶_x) dx.xy.dz ye eşit olur. benzer şekilde küpün diğer yüzleri üzerinden geçen toplam dışarı doğru akıları hesaplar ve toplarsak,

buluruz. Sonsuz küçük hacim elemanı içinde

büyüklüğü, birim hacim başına dışarı doğru toplam akıyı verir ve (x, y, z) noktasında  vektör alanının diferjansı adını alır. Bu kemiyet  div olarak veya  operatörü kullanılarak,

 skaler

olarak yazılır. Bu vektör alanının diverjansı skaler bir büyüklüktür.

            Bu hesaba sonsuz küçük hacim elemanından sonlu bir hacme genellemek için, sonlu hacmi sonsuz küçük hacim elemanlarına bölmek ve bunlar üzerinde toplam almak gerekir. birbirlerine bitişik yüzeylerde bir hacim eleman için dışarı doğru diğer için içeri doğru olur ve bütün hacim üzerinden alınan toplamda bu katkılar birbirlerini yok edeceklerinden yalnızca dış yüzey üzerinden dışarı doğru akı elde edilir ve sonuç,

olarak bulunur. Yukarıda verilen akı tanımı ile

yazılabilir. Bu eşitlik “diverjans teoremi” nin ifadesidir. Eşitliğin sağ yanındaki integral kapalı S yüzeyi boyunca soldaki hacim integrali ise S ile sınırlı hacim üzerinden alınacaktır.

            Rotasyonel

P(x,y)

           Önceki kesimlerde  çizgisel integral kavramını tanımladık ve kapalı bir yörünge boyunca çizgisel integrali sıfır olan korunumlu vektör alanı kavramını verdik. En güzel bir vektör alanının herhangi bir kapalı yol boyunca çizgisel integralini hesaplamaya çalışalım. Basitlik için kapalı yörünge olarak xy, düzlemi içinde sonsuz küçük dC yolunu alıyoruz:

I,III

II,IV

            Yukarıdaki verilen tartışmaya benzer

şekilde buradaki integralleri,

olarak hesaplayabiliriz, iki parantez içindeki işaret farkı alt ve üst parçalarda çizgi elemanlarının ters işaretli oluşundan kaynaklanmaktadır. Sonuç olarak,

bulunur, benzer şekilde,

ve her iki integrali toplarsak,

sonucuna varırız. Elde edilen sonuç yalnızca çizgisel integral alırken eğer üzerinde dolaşma yönünün sağ vida kuralı ile tayinine bağlıdır.

            Çizgisel integrallerin hesabı standard anlaşma olarak sağ vida kuralı yönünde yapılır.

           ¶A_y/¶_x - ¶A_x / ¶_y    nın rotasyoneli olarak isimlendirilen  vektörünün 2. bileşenidir. Üç boyutlu uzayda bu genel sonsuz küçük, eğri boyunca hesaplamak için yukarıdaki sonuç,

şekline girer, burada d sonsuz küçük eğri ile sınırlı yüzey elemandır ve yönü sağ vida ile verilir. Sonlu bir eğri boyunca integral almak için bu eğriyi sonsuz küçük kapalı halkalar ağına böler ve bunlar üzerinden toplam alırsak, bitişik eğriler üzerinde dönüş yönleri farklı nedeniyle toplamlar sıfır olacağından yalnızca dış eğri boyunca çizgisel integral elde edilir:

Bu eşitlik Stokes teoreminin ifadesidir.

          Laplasiyon

            Bazı skaler alanların gradientinin düverjansı elektromagnetizmada (genel olarak fen ve mühendislikte) önemli bir rol oynar.

olduğu için dik Kartezyen koordinatlarda,

 gibidir.  operatörüne “laplasiyon” adı verilir. Çoğu  uygulamalarda dik kartezyen yerine diğer koordinat sistemleri kullanılmak gerekir. bir koordinat sisteminden diğerine geçiş ilke olarak basittir anacak sıkıcı hesaplamaklar gerektirir. Ders içinde sık kullanılacak bazı diferansiyel ifadelerin kartezyen, silindirik ve küresel koordinatlardaki şekilleri aşağıda verilecektir.

           Korunumlu Alanlar

            Herhangi bir kapalı C eğrisi boyunca,

şartını sağlayan alanlara korunumlu vektör alanı denildiğini önceden görmüştük. Stokes teoremini kullanarak,

olacağını söyleyebiliriz. Burada C eğrisi bütünüyle keyfi olduğundan sonucun daima sıfır çıkması için sağ taraftaki integral sıfır olmalıdır: . Herhangi bir korunumlu  alanı için  olur.

            Herhangi bir türevlenebilir skaler alanı için, özdeşlik olarak  dır. Bu nedenle korunumlu olarak  vektör alanı, skaler bir alanın gradienti olarak yazılabilir: , böylece  eşitliği otomatik olarak sağlanır. f skaler alanında daima bir sabit belirsizliği vardır. Korunumlu  alanı için aşağıdaki özellikler geçerlidir:

            1. Herhangi bir kapalı C eğrisi  dır.

            2. Uzayın her noktasında  dır.

            3.  olacak şekilde f skaler alanı bulunabilir.

 Vektör Özdeşlikleri

            Aşağıda listelenen vektör özdeşlikleri ders içinde kullanılacaktır. Özdeşliklerin hepsi sağ ve sol yanları açılıp benzer terimler kıyaslanarak ispatlanabilirler. Aşağıdaki özdeşliklerde  vektör alanları,  V ve  W skaler alanlardır.

            1)

            2)

            3)

            4)

            5)

            6)

            7)

            8)

            9)

            10)

            11)

            12)

Yorumlar (0)

Bu icerige ait yorumlari masaustune alabilirsiniz

Yorum Yazin

Adiniz

Email

Baslik

Yorum

eksi not | arti not

Bu yoruma abone ol (Sadece kayitli kullanicilar icin)

Okudum ve kabul ediyorum Yorum gonderim kurallari.

Lutfen resimdeki guvenlik kodunu girin

Yorum Ekleyin